Теория стереометрии

Задание 14 на ЕГЭ

Максимальный балл	3
Решаемость	~6%
Структура	Два пункта: а) доказательство, б) вычисление
3 балла	Оба пункта решены верно
2 балла	Верный ход решения, но допущена одна ошибка (вычислительная или в обосновании)
1 балл	Верно решён один из двух пунктов

Аксиомы стереометрии

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую (линию пересечения).

Параллельность в пространстве

Признак параллельности прямой и плоскости:

Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

\[a \not\subset \alpha,\quad b \subset \alpha,\quad a \parallel b \implies a \parallel \alpha\]

Признак параллельности двух плоскостей:

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

\[a \subset \alpha,\; b \subset \alpha,\; a \cap b = M,\; a \parallel a',\; b \parallel b',\; a' \subset \beta,\; b' \subset \beta \implies \alpha \parallel \beta\]

Перпендикулярность в пространстве

Признак перпендикулярности прямой и плоскости:

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

\[a \perp b,\; a \perp c,\; b \cap c = O,\; b \subset \alpha,\; c \subset \alpha \implies a \perp \alpha\]

Теорема о трёх перпендикулярах:

Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и самой наклонной.

\[\text{Если } AH \perp \alpha,\; AB \text{ --- наклонная},\; HB \text{ --- проекция},\; m \subset \alpha,\; m \perp HB,\;\text{то } m \perp AB\]

Двугранный угол

Двугранный угол --- часть пространства, ограниченная двумя полуплоскостями с общей прямой (ребром).

Линейный угол двугранного угла --- угол между перпендикулярами к ребру, проведёнными из одной точки ребра в каждую из полуплоскостей.

\[\text{Двугранный угол при ребре } l:\quad \angle AOB,\;\text{где } OA \perp l,\; OB \perp l,\; OA \subset \alpha,\; OB \subset \beta\]

Формулы объёмов

Тело	Формула объёма
Призма	\(V = S_{\text{осн}} \cdot h\)
Пирамида	\(V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h\)
Цилиндр	\(V = \pi r^2 h\)
Конус	\(V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h\)
Шар	\(V = \dfrac{4}{3} \pi r^3\)
Усечённая пирамида	\(V = \dfrac{h}{3}(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})\)

Площади поверхностей

Тело	Боковая поверхность	Полная поверхность
Призма	\(S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h\) (прямая)	\(S = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}\)
Пирамида (правильная)	\(S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l\)	\(S = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}\)
Цилиндр	\(S_{\text{бок}} = 2\pi r h\)	\(S = 2\pi r(r + h)\)
Конус	\(S_{\text{бок}} = \pi r l\)	\(S = \pi r(r + l)\)
Шар	\(S = 4\pi r^2\)

Интерактивный 3D-просмотр многогранников

Выберите фигуру и вращайте мышью. Включите слои для отображения диагоналей, высоты, середин рёбер или сечения.

Диагонали Высота Середины рёбер Сечение

Координатный метод

Почему координатный метод?

Координатный метод --- это универсальный инструмент для пункта б) задания 14. Он позволяет свести любую геометрическую задачу к алгебраическим вычислениям: нахождению углов, расстояний, площадей через координаты и векторы.

Пошаговый алгоритм координатного метода

5 шагов к решению любой задачи

Введи систему координат

Начало --- в вершине прямого угла. Оси --- вдоль рёбер

↓

Найди координаты точек

Координаты всех вершин и особых точек

↓

Построй векторы

Направляющие векторы прямых, векторы в плоскости

↓

Найди нормаль к плоскости

Уравнение плоскости \(Ax+By+Cz+D=0\) или векторное произведение

↓

Примени формулу

Угол, расстояние --- подставь в нужную формулу

Векторное произведение

Векторное произведение \(\vec{a} \times \vec{b}\) даёт вектор, перпендикулярный обоим --- нормаль к плоскости:

\[\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \vec{i}(a_2 b_3 - a_3 b_2) - \vec{j}(a_1 b_3 - a_3 b_1) + \vec{k}(a_1 b_2 - a_2 b_1)\]

Угол между плоскостями

Если \(\vec{n_1}\) и \(\vec{n_2}\) --- нормали к плоскостям, то:

\[\cos\alpha = \frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}\]

Скалярное произведение: \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2\)

Угол между прямой и плоскостью

Если \(\vec{v}\) --- направляющий вектор прямой, \(\vec{n}\) --- нормаль к плоскости:

\[\sin\alpha = \frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\cdot|\vec{n}|}\]

Расстояние от точки до плоскости

Если плоскость задана уравнением \(Ax + By + Cz + D = 0\), а точка имеет координаты \((x_0, y_0, z_0)\):

\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Если \(\vec{v_1}\) и \(\vec{v_2}\) --- направляющие векторы прямых, а \(\vec{AB}\) --- вектор между точками на прямых:

\[d = \frac{|\vec{AB}\cdot(\vec{v_1}\times\vec{v_2})|}{|\vec{v_1}\times\vec{v_2}|}\]

Здесь \(\vec{AB}\cdot(\vec{v_1}\times\vec{v_2})\) --- смешанное произведение трёх векторов.

Уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости: \(Ax + By + Cz + D = 0\), где \(\vec{n} = (A, B, C)\) --- нормаль.

Как найти: подставить три точки плоскости в уравнение и решить систему из трёх уравнений для \(A, B, C, D\) (одно из них можно считать равным 1).

Или: по двум векторам в плоскости найти нормаль через векторное произведение, затем подставить одну точку для нахождения \(D\).

Калькулятор координатного метода

Введите координаты точек, постройте векторы и вычислите скалярное и векторное произведения, угол между векторами.

Добавьте точки и нажмите "Вычислить"

Алгоритм решения задания 14

Следуй этим 5 шагам --- и задание решено!

Прочитай условие, нарисуй чертёж

Аккуратный рисунок --- половина решения. Отметь все данные

↓

Пункт а) --- доказательство

Используй признаки параллельности или перпендикулярности. Каждый шаг должен быть обоснован

↓

Пункт б) --- введи систему координат

Начало координат --- в вершине с прямым углом. Оси --- вдоль рёбер

↓

Найди координаты, построй векторы

Координаты всех точек, нормали через векторное произведение

↓

Примени формулы, вычисли ответ

Подставь в формулу угла, расстояния. Упрости. Проверь

Пункт а): как оформить доказательство

Доказательство в пункте а) должно быть полным и строгим. Типичная структура:

Сформулируйте, что именно нужно доказать (параллельность, перпендикулярность и т.д.)
Укажите конкретный признак (теорему), который будете использовать
Проверьте все условия этого признака, ссылаясь на данные задачи
Сделайте вывод: по признаку ... следует, что ...

Пункт б): координатный метод --- лучший выбор

Для пункта б) рекомендуется координатный метод, так как он:

Универсален --- работает для любых задач
Алгоритмичен --- не нужно искать красивые построения
Легко проверяется --- можно подставить обратно

Типичные задачи пункта б):

Найти угол между плоскостями
Найти угол между прямой и плоскостью
Найти расстояние от точки до плоскости
Найти расстояние между скрещивающимися прямыми
Найти объём многогранника

Типичные ошибки

Ошибки, стоящие баллов

Задание 14 --- одно из самых сложных. Вот наиболее частые ошибки, из-за которых теряются баллы:

1. Отсутствие обоснований в пункте а)

Неверно: "Из рисунка видно, что прямая AB параллельна плоскости..."

Верно: "AB параллельна CD (так как ABCD --- параллелограмм). CD лежит в плоскости alpha. AB не лежит в alpha. По признаку параллельности прямой и плоскости: AB || alpha."

Каждый шаг доказательства должен ссылаться на теорему или свойство

2. Подмена доказательства ссылкой на чертёж

Неверно: "Прямая перпендикулярна плоскости, что видно из чертежа"

Верно: Нужно проверить условия признака перпендикулярности: показать, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости

Чертёж --- иллюстрация, а не доказательство. Эксперт не примет ссылку на рисунок

3. Путаница sin/cos в формулах углов

Запомните!

Угол между плоскостями: используется \(\cos\alpha = \dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}\)

Угол между прямой и плоскостью: используется \(\sin\alpha = \dfrac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\cdot|\vec{n}|}\)

Мнемоника: прямая "СИНит" к плоскости (sin), а плоскости "КОСят" друг на друга (cos)

4. Неверное введение координат

Система координат должна быть введена в вершине, где есть три попарно перпендикулярных ребра (или направления).

Совет: в кубе и прямоугольном параллелепипеде начало --- в вершине, оси --- вдоль рёбер. В пирамиде --- в центре основания (ось z вверх).

Неудачный выбор координат усложняет вычисления, но не влияет на ответ

5. Арифметические ошибки в векторном произведении

Векторное произведение --- самое частое место арифметических ошибок. Проверяйте себя:

Контроль: результат \(\vec{a} \times \vec{b}\) должен быть перпендикулярен обоим: проверьте скалярные произведения \((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a} = 0\) и \((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b} = 0\).

Потратьте 30 секунд на проверку --- это может спасти 2 балла

Банк заданий

Решено: 0 / 8

Тренажёр

Быстрые вопросы по стереометрии

Проверьте знание формул, свойств и определений. Вопросы генерируются случайным образом.

Нажмите "Начать" для первого вопроса

Правильно: 0 / 0

Шпаргалка

Объёмы тел

Призма
\(V = S_{\text{осн}} \cdot h\)

Пирамида
\(V = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}} \cdot h\)

Цилиндр
\(V = \pi r^2 h\)

Конус
\(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\)

Шар
\(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)

Усечённый конус
\(V = \dfrac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)\)

Площади поверхностей

Цилиндр (бок.)
\(S = 2\pi r h\)

Конус (бок.)
\(S = \pi r l\)

Шар
\(S = 4\pi r^2\)

Цилиндр (полн.)
\(S = 2\pi r(r + h)\)

Конус (полн.)
\(S = \pi r(r + l)\)

Правильная пирамида (бок.)
\(S = \dfrac{1}{2}P \cdot l\)

Координатный метод

Угол плоскостей
\(\cos\alpha = \dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}\)

Угол прямой и плоскости
\(\sin\alpha = \dfrac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}\)

Расстояние до плоскости
\(d = \dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)

Расстояние скрещ. прямых
\(d = \dfrac{|\vec{AB}\cdot(\vec{v_1}\times\vec{v_2})|}{|\vec{v_1}\times\vec{v_2}|}\)

Скалярное произведение
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\)

Длина вектора
\(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)

Ключевые теоремы

Признак || прямой и плоскости
Прямая || прямой в плоскости, сама не в плоскости

Признак || плоскостей
Две пересекающиеся прямые одной || двум пересекающимся другой

Признак ⊥ прямой и плоскости
Прямая ⊥ двум пересекающимся прямым в плоскости

Три перпендикуляра
m ⊥ проекции наклонной ⇒ m ⊥ наклонной

Сечение параллельных плоскостей
Третья плоскость пересекает две параллельные по параллельным прямым

Свойство перпендикулярных плоскостей
Прямая в одной плоскости ⊥ линии пересечения ⇒ ⊥ другой плоскости