Теория стереометрии

Задание 14 на ЕГЭ

Максимальный балл	3
Решаемость	~6%
Структура	Два пункта: а) доказательство, б) вычисление
3 балла	Верно доказан пункт а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
2 балла	Обоснованно получен верный ответ в б) (самостоятельно, без ссылки на а) или верно доказан а), а в б) лишь арифметическая ошибка
1 балл	Верно доказан только а); или в б) обоснованный ход с арифметической ошибкой; или ответ в б) опирается на недоказанное утверждение а)

Аксиомы стереометрии

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую (линию пересечения).

Параллельность в пространстве

Признак параллельности прямой и плоскости:

Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

\[a \not\subset \alpha,\quad b \subset \alpha,\quad a \parallel b \implies a \parallel \alpha\]

Признак параллельности двух плоскостей:

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

\[a \subset \alpha,\; b \subset \alpha,\; a \cap b = M,\; a \parallel a',\; b \parallel b',\; a' \subset \beta,\; b' \subset \beta \implies \alpha \parallel \beta\]

Перпендикулярность в пространстве

Признак перпендикулярности прямой и плоскости:

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

\[a \perp b,\; a \perp c,\; b \cap c = O,\; b \subset \alpha,\; c \subset \alpha \implies a \perp \alpha\]

Теорема о трёх перпендикулярах:

Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и самой наклонной.

\[\text{Если } AH \perp \alpha,\; AB \text{ --- наклонная},\; HB \text{ --- проекция},\; m \subset \alpha,\; m \perp HB,\;\text{то } m \perp AB\]

Двугранный угол

Двугранный угол --- часть пространства, ограниченная двумя полуплоскостями с общей прямой (ребром).

Линейный угол двугранного угла --- угол между перпендикулярами к ребру, проведёнными из одной точки ребра в каждую из полуплоскостей.

\[\text{Двугранный угол при ребре } l:\quad \angle AOB,\;\text{где } OA \perp l,\; OB \perp l,\; OA \subset \alpha,\; OB \subset \beta\]

Формулы объёмов

Тело	Формула объёма
Призма	\(V = S_{\text{осн}} \cdot h\)
Пирамида	\(V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h\)
Цилиндр	\(V = \pi r^2 h\)
Конус	\(V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h\)
Шар	\(V = \dfrac{4}{3} \pi r^3\)
Усечённая пирамида	\(V = \dfrac{h}{3}(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})\)

Площади поверхностей

Тело	Боковая поверхность	Полная поверхность
Призма	\(S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h\) (прямая)	\(S = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}\)
Пирамида (правильная)	\(S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l\)	\(S = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}\)
Цилиндр	\(S_{\text{бок}} = 2\pi r h\)	\(S = 2\pi r(r + h)\)
Конус	\(S_{\text{бок}} = \pi r l\)	\(S = \pi r(r + l)\)
Шар	\(S = 4\pi r^2\)

Интерактивный 3D-просмотр многогранников

Выберите фигуру и вращайте мышью. Включите слои для отображения диагоналей, высоты, середин рёбер или сечения.

Диагонали Высота Середины рёбер Сечение

Координатный метод

Почему координатный метод?

Координатный метод --- это универсальный инструмент для пункта б) задания 14. Он позволяет свести любую геометрическую задачу к алгебраическим вычислениям: нахождению углов, расстояний, площадей через координаты и векторы.

Пошаговый алгоритм координатного метода

5 шагов к решению любой задачи

Введи систему координат

Начало --- в вершине прямого угла. Оси --- вдоль рёбер

↓

Найди координаты точек

Координаты всех вершин и особых точек

↓

Построй векторы

Направляющие векторы прямых, векторы в плоскости

↓

Найди нормаль к плоскости

Уравнение плоскости \(Ax+By+Cz+D=0\) или векторное произведение

↓

Примени формулу

Угол, расстояние --- подставь в нужную формулу

Векторное произведение

Векторное произведение \(\vec{a} \times \vec{b}\) даёт вектор, перпендикулярный обоим --- нормаль к плоскости:

\[\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \vec{i}(a_2 b_3 - a_3 b_2) - \vec{j}(a_1 b_3 - a_3 b_1) + \vec{k}(a_1 b_2 - a_2 b_1)\]

Угол между плоскостями

Если \(\vec{n_1}\) и \(\vec{n_2}\) --- нормали к плоскостям, то:

\[\cos\alpha = \frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}\]

Скалярное произведение: \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2\)

Проще: модуль \(|\,\cdot\,|\) в числителе ставится всегда — он сразу даёт острый угол между плоскостями. Поэтому неважно, в какую сторону «смотрят» найденные нормали: знак скалярного произведения роли не играет, ответ получится один и тот же.

Угол между прямой и плоскостью

Если \(\vec{v}\) --- направляющий вектор прямой, \(\vec{n}\) --- нормаль к плоскости:

\[\sin\alpha = \frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\cdot|\vec{n}|}\]

Расстояние от точки до плоскости

Если плоскость задана уравнением \(Ax + By + Cz + D = 0\), а точка имеет координаты \((x_0, y_0, z_0)\):

\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Если \(\vec{v_1}\) и \(\vec{v_2}\) --- направляющие векторы прямых, а \(\vec{AB}\) --- вектор между точками на прямых:

\[d = \frac{|\vec{AB}\cdot(\vec{v_1}\times\vec{v_2})|}{|\vec{v_1}\times\vec{v_2}|}\]

Здесь \(\vec{AB}\cdot(\vec{v_1}\times\vec{v_2})\) --- смешанное произведение трёх векторов.

Проще: делается в 3 шага. (1) Бери по одной точке на каждой прямой и их направляющие векторы \(\vec{v_1},\vec{v_2}\). (2) Посчитай векторное произведение \(\vec{v_1}\times\vec{v_2}\) — это общий перпендикуляр. (3) Раздели модуль смешанного произведения (числитель = \(|\vec{AB}\cdot(\vec{v_1}\times\vec{v_2})|\), просто скалярно умножь \(\vec{AB}\) на полученный перпендикуляр) на длину этого перпендикуляра. Числитель — это объём «коробки» на трёх векторах, знаменатель — площадь её основания, значит ответ — высота, то есть искомое расстояние.

Уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости: \(Ax + By + Cz + D = 0\), где \(\vec{n} = (A, B, C)\) --- нормаль.

Как найти: подставить три точки плоскости в уравнение и решить систему из трёх уравнений для \(A, B, C, D\) (одно из них можно считать равным 1).

Или: по двум векторам в плоскости найти нормаль через векторное произведение, затем подставить одну точку для нахождения \(D\).

Проще: почти всегда быстрее «через нормаль». (1) Возьми две точки плоскости и построй из одной два вектора. (2) Их векторное произведение даёт нормаль \(\vec{n}=(A,B,C)\) — это и есть первые три числа уравнения. (3) Подставь координаты любой точки плоскости в \(Ax+By+Cz+D=0\) и найди \(D\). Готово — можно сразу считать расстояние по формуле.

Калькулятор координатного метода

Введите координаты точек, постройте векторы и вычислите скалярное и векторное произведения, угол между векторами.

Добавьте точки и нажмите "Вычислить"

Алгоритм решения задания 14

Следуй этим 5 шагам --- и задание решено!

Прочитай условие, нарисуй чертёж

Аккуратный рисунок --- половина решения. Отметь все данные

↓

Пункт а) --- доказательство

Используй признаки параллельности или перпендикулярности. Каждый шаг должен быть обоснован

↓

Пункт б) --- введи систему координат

Начало координат --- в вершине с прямым углом. Оси --- вдоль рёбер

↓

Найди координаты, построй векторы

Координаты всех точек, нормали через векторное произведение

↓

Примени формулы, вычисли ответ

Подставь в формулу угла, расстояния. Упрости. Проверь

Главная стратегия части 2: не доказал а) — всё равно бери б)!

Правило. Пункты а) и б) независимы. Пункт б) решается координатным методом сам по себе: вводишь оси, находишь координаты вершин, применяешь готовую формулу. Доказательство из а) при этом не нужно.

Проще: если а) не получилось — не пиши «не решал» и не сдавай пустой бланк. Сразу переходи к б), ставь систему координат и считай по формуле. Это 2 балла из 3, которые берутся почти «механически».

Чистый ноль 0/3 → честные 2/3. Пункт б) координатами оценивается отдельно: верные координаты + верная формула + верный ответ = полный балл за б), даже если в бланке нет ни строчки доказательства а).

Что писать в б), если а) пропустил:

«Введём прямоугольную систему координат...» (укажи, где начало и куда направлены оси).
Выпиши координаты всех нужных вершин.
Построй векторы / найди нормаль.
Подставь в формулу угла или расстояния и доведи до числа.

Шаблон координат для типовых фигур

Чтобы не «зависать» над выбором осей, выучи готовые расстановки. Ребро/сторону обозначаем \(a\) (часто удобно взять \(a=1\) или \(a=2\)).

1. Куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром \(a\). Начало в \(A\), оси вдоль рёбер:

\[A(0,0,0),\; B(a,0,0),\; C(a,a,0),\; D(0,a,0)\] \[A_1(0,0,a),\; B_1(a,0,a),\; C_1(a,a,a),\; D_1(0,a,a)\]

2. Прямоугольный параллелепипед, \(AB=p\), \(AD=q\), \(AA_1=r\). Начало в \(A\):

\[A(0,0,0),\; B(p,0,0),\; C(p,q,0),\; D(0,q,0),\; C_1(p,q,r),\; A_1(0,0,r)\]

3. Правильная треугольная призма со стороной основания \(a\) и высотой \(h\). Начало в вершине \(A\):

\[A(0,0,0),\; B(a,0,0),\; C\!\left(\tfrac{a}{2},\;\tfrac{a\sqrt{3}}{2},\;0\right),\quad A_1,B_1,C_1\text{ — те же с } z=h\]

4. Правильная четырёхугольная пирамида \(SABCD\), сторона основания \(a\), высота \(SO=h\). Начало в центре \(O\), ось \(z\) — вверх:

\[A\!\left(-\tfrac{a}{2},-\tfrac{a}{2},0\right),\; B\!\left(\tfrac{a}{2},-\tfrac{a}{2},0\right),\; C\!\left(\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},0\right),\; D\!\left(-\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},0\right),\; S(0,0,h)\]

5. Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) \(SABC\), сторона основания \(a\), высота \(h\). Удобно ставить начало в вершине основания \(A\):

\[A(0,0,0),\; B(a,0,0),\; C\!\left(\tfrac{a}{2},\tfrac{a\sqrt3}{2},0\right),\quad S\!\left(\tfrac{a}{2},\tfrac{a\sqrt3}{6},h\right)\]

Готовые формулы для б) (повтор из раздела «Координатный метод»):

Угол прямой и плоскости: \(\sin\alpha = \dfrac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\,|\vec{n}|}\)
Угол между плоскостями: \(\cos\varphi = \dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\,|\vec{n_2}|}\)
Расстояние от точки до плоскости \(Ax+By+Cz+D=0\): \(d = \dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)

Частая ошибка: «не решал» вместо б) координатами (потеря 2 баллов)

Неверно: не получилось доказательство а) → сдал пустой бланк, написал «не решал». Итог 0/3.

Верно: пропустил а), но в б) ввёл координаты, нашёл угол/расстояние по формуле и довёл до числа. Итог 2/3 — пункт б) засчитывается полностью.

Пункты независимы!

Эксперт проверяет б) отдельно. Координатное решение б) не ссылается на а): ему хватает чертежа с осями, координат вершин и формулы. Даже если а) вообще не тронут — за корректное б) ставят 2 балла.

Сначала за 1–2 минуты прикинь координаты для б). Часто оно оказывается легче, чем доказательство а)

Разбор: пункт б) только координатами (3 примера)

Во всех примерах считаем, что пункт а) не решён. Показываем, что б) всё равно полностью берётся координатным методом.

Пример 1 (угол прямой и плоскости). В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром 1 найдите угол между прямой \(A_1C\) и плоскостью основания \(ABCD\).

1. Оси: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(D(0,1,0)\), ось \(z\) вверх. Тогда \(A_1(0,0,1)\), \(C(1,1,0)\).

2. Направляющий вектор прямой: \(\vec{v}=\vec{A_1C}=(1,1,-1)\). Нормаль к основанию: \(\vec{n}=(0,0,1)\).

3. \(\sin\alpha=\dfrac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\,|\vec{n}|}=\dfrac{|-1|}{\sqrt{3}\cdot 1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).

4. \(\alpha=\arcsin\dfrac{1}{\sqrt3}\approx 35{,}26^\circ\). Это и есть готовые 2 балла за б).

Пример 2 (расстояние от точки до плоскости). В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром 1 найдите расстояние от точки \(A\) до плоскости \(BDC_1\).

1. Координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(D(0,1,0)\), \(C_1(1,1,1)\).

2. Векторы в плоскости: \(\vec{BD}=(-1,1,0)\), \(\vec{BC_1}=(0,1,1)\). Нормаль: \(\vec{n}=\vec{BD}\times\vec{BC_1}=(1,1,-1)\).

3. Уравнение плоскости через \(B(1,0,0)\): \(1(x-1)+1\,y-1\,z=0\Rightarrow x+y-z-1=0\).

4. \(d=\dfrac{|0+0-0-1|}{\sqrt{1+1+1}}=\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}\approx 0{,}577\). Полный балл за б) без доказательства а).

Пример 3 (угол между плоскостями). В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) сторона основания 2, высота \(SO=\sqrt3\). Найдите угол между боковой гранью \(SBC\) и плоскостью основания.

1. Начало в центре \(O\): \(B(1,-1,0)\), \(C(1,1,0)\), \(S(0,0,\sqrt3)\).

2. Векторы в грани: \(\vec{SB}=(1,-1,-\sqrt3)\), \(\vec{SC}=(1,1,-\sqrt3)\). Нормаль: \(\vec{n_1}=\vec{SB}\times\vec{SC}=(2\sqrt3,\,0,\,2)\).

3. Нормаль основания: \(\vec{n_2}=(0,0,1)\). \(\cos\varphi=\dfrac{|2|}{\sqrt{12+0+4}\cdot 1}=\dfrac{2}{4}=\dfrac12\).

4. \(\varphi=60^\circ\). 2 балла за б) — координатами, без пункта а).

Пункт а): как оформить доказательство

Доказательство в пункте а) должно быть полным и строгим. Типичная структура:

Сформулируйте, что именно нужно доказать (параллельность, перпендикулярность и т.д.)
Укажите конкретный признак (теорему), который будете использовать
Проверьте все условия этого признака, ссылаясь на данные задачи
Сделайте вывод: по признаку ... следует, что ...

Пункт б): координатный метод --- лучший выбор

Для пункта б) рекомендуется координатный метод, так как он:

Универсален --- работает для любых задач
Алгоритмичен --- не нужно искать красивые построения
Легко проверяется --- можно подставить обратно

Типичные задачи пункта б):

Найти угол между плоскостями
Найти угол между прямой и плоскостью
Найти расстояние от точки до плоскости
Найти расстояние между скрещивающимися прямыми
Найти объём многогранника

Типичные ошибки

Ошибки, стоящие баллов

Задание 14 --- одно из самых сложных. Вот наиболее частые ошибки, из-за которых теряются баллы:

1. Отсутствие обоснований в пункте а)

Неверно: "Из рисунка видно, что прямая AB параллельна плоскости..."

Верно: "AB параллельна CD (так как ABCD --- параллелограмм). CD лежит в плоскости alpha. AB не лежит в alpha. По признаку параллельности прямой и плоскости: AB || alpha."

Каждый шаг доказательства должен ссылаться на теорему или свойство

2. Подмена доказательства ссылкой на чертёж

Неверно: "Прямая перпендикулярна плоскости, что видно из чертежа"

Верно: Нужно проверить условия признака перпендикулярности: показать, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости

Чертёж --- иллюстрация, а не доказательство. Эксперт не примет ссылку на рисунок

3. Путаница sin/cos в формулах углов

Запомните!

Угол между плоскостями: используется \(\cos\alpha = \dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}\)

Угол между прямой и плоскостью: используется \(\sin\alpha = \dfrac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\cdot|\vec{n}|}\)

Мнемоника: прямая "СИНит" к плоскости (sin), а плоскости "КОСят" друг на друга (cos)

4. Неверное введение координат

Система координат должна быть введена в вершине, где есть три попарно перпендикулярных ребра (или направления).

Совет: в кубе и прямоугольном параллелепипеде начало --- в вершине, оси --- вдоль рёбер. В пирамиде --- в центре основания (ось z вверх).

Неудачный выбор координат усложняет вычисления, но не влияет на ответ

5. Арифметические ошибки в векторном произведении

Векторное произведение --- самое частое место арифметических ошибок. Проверяйте себя:

Контроль: результат \(\vec{a} \times \vec{b}\) должен быть перпендикулярен обоим: проверьте скалярные произведения \((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a} = 0\) и \((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b} = 0\).

Потратьте 30 секунд на проверку --- это может спасти 2 балла

Банк заданий

Решено: 0 / 17

Тренажёр

Быстрые вопросы по стереометрии

Проверьте знание формул, свойств и определений. Вопросы генерируются случайным образом.

Нажмите "Начать" для первого вопроса

Правильно: 0 / 0

Шпаргалка

Объёмы тел

Призма
\(V = S_{\text{осн}} \cdot h\)

Пирамида
\(V = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}} \cdot h\)

Цилиндр
\(V = \pi r^2 h\)

Конус
\(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\)

Шар
\(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)

Усечённый конус
\(V = \dfrac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)\)

Площади поверхностей

Цилиндр (бок.)
\(S = 2\pi r h\)

Конус (бок.)
\(S = \pi r l\)

Шар
\(S = 4\pi r^2\)

Цилиндр (полн.)
\(S = 2\pi r(r + h)\)

Конус (полн.)
\(S = \pi r(r + l)\)

Правильная пирамида (бок.)
\(S = \dfrac{1}{2}P \cdot l\)

Координатный метод

Угол плоскостей
\(\cos\alpha = \dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}\)

Угол прямой и плоскости
\(\sin\alpha = \dfrac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}\)

Расстояние до плоскости
\(d = \dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)

Расстояние скрещ. прямых
\(d = \dfrac{|\vec{AB}\cdot(\vec{v_1}\times\vec{v_2})|}{|\vec{v_1}\times\vec{v_2}|}\)

Скалярное произведение
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\)

Длина вектора
\(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)

Ключевые теоремы

Признак || прямой и плоскости
Прямая || прямой в плоскости, сама не в плоскости

Признак || плоскостей
Две пересекающиеся прямые одной || двум пересекающимся другой

Признак ⊥ прямой и плоскости
Прямая ⊥ двум пересекающимся прямым в плоскости

Три перпендикуляра
m ⊥ проекции наклонной ⇒ m ⊥ наклонной

Сечение параллельных плоскостей
Третья плоскость пересекает две параллельные по параллельным прямым

Свойство перпендикулярных плоскостей
Прямая в одной плоскости ⊥ линии пересечения ⇒ ⊥ другой плоскости